- 전력시스템 전체로 본 연료비 최소화는 변동비 또는 발전원가가 낮은 순서로 차례로 발전기 출력을 최대로 지정하는 것과 무관하다.
- 가장 단순한 방법은 각 발전기의 증분비용이 어떤 값과 같아지면서 총출력이 시스템부하와 같게 되도록 하는 발전기의 출력을 지정하는 것이다.
- 등증분비용법에서 얻은 발전기출력과 SCED를 실행해 얻은 발전기 출력의 차이가 제약발전(con-on)과 제약비발전(con-off)을 구하는 기본자료가 된다.

김영창 공학박사

발전비용의 구성요소
발전비용은 여러 종류로 분류될 수 있으며 주로 화력발전기의 연료비에 관한 것이다. 첫째, 화력발전기의 기동비용(start-up cost)은 발전기가 정지해 있을 때부터 현재 전력시스템의 주파수와 같은 교류전압이 생성되는 회전속도(동기속도)에 도달할 때까지 소요되는 비용을 말한다. 터빈/발전기를 동기속도로 회전시키기 위해 보일러를 가열하는 데에는 상당한 시간 및 에너지가 필요하다. 이 동안에 에너지를 공급하는 비용은 발전기의 조건에 따라 변한다. 이미 가열되어 있는 보일러는 오랫동안 정지해 있던 보일러와 달리 기동비용이 낮다. 그러므로 전력회사별로 같은 발전기라도 기동비용에 대한 정의가 다르다. 발전기의 기동비용은 기동정지스케줄을 작성할 때 고려되며 실시간 시스템운용에서는 기동된 발전기를 대상으로 하므로 기동비용은 실시간 시스템운용에서 발전기 출력의 결정에 영향을 미치지 않는다. 
둘째, 무부하운전비용(no-load costs)은 발전기를 전력시스템에 병입(synchronize)시킨 다음, 출력을 내지 않는 상태로 유지하는 데 필요한 비용이다. 즉 출력이 0 MW일 때 소요되는 비용이다. 발전비용은 무부하비용에서 출발해 출력이 상승하면 비용함수에 따라 증가한다. 자동차가 공회전하고 있을 때 소모되는 연료비에 비유할 수 있다. 발전기가 전기를 생산하고 있을 때에도 입력에너지의 대부분은 발전을 위해 소모되지만, 일부분은 풍손(windage loss)과 마찰손(friction loss)을 극복하기 위해 사용된다. 무부하운전을 하는 이유는 터빈/발전기의 여러 부분에 냉각 개소(cold spots)가 존재하지 않도록 하려는 목적도 있다. 터빈/발전기의 각 부분을 운전온도에 맞추어 놓는 이유는 이엠에스가 발전기의 출력을 변경하라는 신호를 보냈을 때 제대로 응동하기 위한 것이다. 
셋째, 최소출력 유지비용(minimum-load cost)은 발전기가 최소출력을 유지하는 데 필요한 비용이다. 정상운전 상태에서 가동 중인 발전기는 시스템부하의 변동에 대응하면서 안정적으로 운전되어야 하므로 최소출력 이상에서 발전해야 한다. 따라서 경제급전의 최소화문제에는 화력발전기의 최소출력과 최대출력이 제약조건으로 등장한다. 
앞으로 설명과정에서 경제급전의 계산주기는 주로 5분이므로 출력(MW)을 결정하면 5분 동안에 사용되는 연료비가 결정된다. 발전량(MWh)은 5분 동안의 발전기출력에 따라 종속적으로 결정되며 계량장치에는 MWh가 5분 단위로 기록된다. 5분 동안의 총 연료비 최소화를 위한 각 발전기의 출력은 1시간 동안의 연료비 최소화를 위한 문제의 해(solution)와 동일하다. 그러므로 총 연료비를 최소화하는 것은 각 발전기의 연료비에 관련한 것이지만 5분을 대상으로 할 때 각 비용함수($/시간)를 사용해 발전기의 출력(MW)을 결정해 목적함수인 연료비를 최소화하는 것이다. 이러한 이유로 인해 급전의 문제는 출력을 지정하는 문제이다. 

등증분비용급전(Equal Incremental Cost Dispatch)
경제급전문제의 해를 구하는 간단한 해법은 각 발전기의 증분비용이 어떤 미지의 값과 같으면서 각 발전기 출력의 합이 시스템부하와 같게 되도록 하는 출력을 지정하는 것이며 이것을 등증분비용급전이라 한다. 다음과 같은 의문을 해소하기 위해 등증분비용급전을 사용해 설명한다. 첫째, 발전원가가 낮은 발전기부터 순차적으로 최대출력을 지정하는 것이 연료비를 최소화하는 것인가? 둘째, 변동비가 낮은 발전기부터 순차적으로 최대출력을 지정하는 것은 왜 총 연료비를 최소화하는 것이 아닌가? 셋째, 각 발전기의 효율이 가장 높은 출력에서 운전해야 전체 연료비가 최소로 되는 것이 아닌가? 등의 의문이 있을 수 있다. 
그림-30에서 발전기별로 비용함수 F(x)가 주어져 있고 발전기 출력이 x일 때 y-축은 시간당 연료비($/시간)를 나타낸다. 그림-30을 보면 증분비용함수는 출력 x에서 발전기의 출력을 한 단위 높였을 때 추가적으로 사용되는 연료비를 y-축($/MWh)에 나타낸다. 증분비용함수는 실시간 시스템운용에서 연료비최소화를 위한 개별 발전기출력을 구하는 최적화문제의 중요한 정보로 사용된다. 
그림-30의 3개 발전기의 증분비용함수를 예로 들어 설명한다. 출력이 100 MW인 3개의 발전기가 현재 250 MW의 시스템부하를 공급하고 있으며 총출력(운전 중인 발전기출력의 합)은 시스템부하와 같다. 즉 주파수를 유지하기 위한 기본조건이 만족되고 있다. 2개의 발전기는 변동비가 낮은 순서에 의해 각각 최대출력 100MW를 내고 있으며 3번째 발전기가 한계발전기(marginal unit)로 50MW의 출력을 내고 있다고 있다고 가정한다. 이것이 과연 전체 연료비를 최소화하는 각 발전기의 출력인가를 검토해 본다. 이 방법은 변동비($/kWh)의 정보만을 갖고 출력을 결정한 것이다. 발전기마다 증분비용함수가 주어졌으므로 이와 같은 출력상황에서 3번째 발전기의 출력을 1MW 높여 운전하면 10만원이 추가적으로 필요하고 이와 동시에 2번째 발전기의 출력을 1MW 낮추면 15만원이 감소하는 것을 파악하였다. 이때 2번째 발전기의 출력을 99 MW로 지정하고 3번째 발전기의 출력을 51MW로 지정하면 총 연료비는 5만 원만큼 감소할 것이다. 이렇게 함으로써 100MW, 100MW, 50MW의 출력으로 급전하는 것보다 더 경제적이면서 총출력은 동일하고 주파수유지가 가능한 것이다. 이와 같이 총출력을 유지하면서 발전기의 출력을 조정하는 탐색을 계속하면 최종에는 각 발전기의 증분비용은 어떤 미지의 값과 동일하게 될 것이다. 미지의 값을 시스템 람다(system lambda)라고 말한다. 만약 시스템부하가 10MW만큼 증가한다면 실시간으로 이엠에스는 등증분비용 급전의 해를 새롭게 구할 것이다. 
등증분비용급전을 실행하는 간편한 방법은 그림-30의 점선으로 표시한 수평선을 상하로 이동하면서 각 발전기의 출력이 시스템부하와 같게 되는 각 발전기의 출력을 결정하는 것이다. 이 방법은 현재와 같은 이엠에스 컴퓨터모형이 개발되기 이전의 초기 경제급전에서 사용되던 방법이었다. 이 방법은 송전선의 용량제약을 고려하지 않은 간략기법이다. 각 발전기의 최소출력 및 최대출력이 제약조건으로 지정되면 등증분비용법의 원칙이 성립하지 않게 된다. 실제로 점선의 수평선을 상하로 움직이면서 출력을 결정할 때 최소 및 최대출력에 도달한 발전기의 출력은 그 자리에서 멈추고 하한과 상한의 제약조건에 부딪치지 않은 다른 발전기의 출력을 변경한다. 송전망의 전력손실, 안전도유지를 위한 발전기출력조정 등을 고려하면 등증분비용의 원칙은 성립하지 않게 된다. 다시 말하면 발전기출력의 합이 시스템부하와 같아야 한다는 제약조건 이외의 조건을 추가로 만족해야 한다면 등증분비용의 원칙은 성립하지 않는다. 
각각의 발전기가 효율이 제일 높은 운전점에서 운전한다고 해 총 연료비가 최소로 된다고 주장하는 것을 옳은 것이 아니다. 왜냐하면 현재 결정된 발전기 출력에서 출발해 증분비용을 비교하면서 출력을 조정해 최소비용에 도달할 수 있는 발전기 출력을 결정할 수 있으며, 이것은 각 발전기 효율이 최대로 되는 출력이 다른 출력으로 이동하기 때문이다. 그러므로 이 방법은 총 연료비가 최소로 되는 방법이 아니다. 각 발전기의 최적 효율을 달성하는 운전점의 출력을 합해 시스템부하와 동일하게 할 수도 없으며 소비자부하가 변동하면 발전기출력을 조정해 규정 주파수를 유지해야 하는데 이때에도 각 발전기의 효율이 가장 높아지는 출력이 유지되면서 총 연료비가 최소로 된다고 말할 수 없다. 급전원 또는 이엠에스가 각 발전기에 대해 최소출력과 최대출력의 범위를 발전기에 대해 입력 조건으로 지정한다고 해도 발전기가 이 범위 내에서 출력을 자체적으로 결정할 수는 없으며 이엠에스의 SCED 프로그램은 최소출력과 최대출력의 범위를 해(solution)로 지정해 주는 것이 아니라 그런 제약조건 아래 출력을 결정한다. 최소출려과 최대출력의 범위를 출력으로 제시하는 알고리즘도 존재하지 않는다. 왜냐하면 주파수유지를 위해 총출력이 부족하다든가 또는 넘친다든가 하는 정보를 사용해 각 발전기가 독자적으로 출력을 결정할 수 없기 때문이다. 이 문제는 조속기와 AGC(자동출력제어, automatic generation control)의 역할을 설명하는 과정에서 밝혔다.
발전원가가 낮은 순서로 개별 발전기의 출력을 최대로 지정한다고 해 총 연료비가 최소로 되는 것이 아니다. 발전원가는 고정비원가와 변동비원가로 구성되어 있다. 그런데 고정비원가는 연간이용율(capacity factor)의 함수이다. 연간부하율이란 일 년 동안 운전하는 것을 기준으로 말한다. 그러나 실시간 시스템운용의 어느 시점에서 연간이용율을 미리 알 수 없으므로 고정비원가를 알 수 없으며 따라서 발전원가를 계산할 수 없다. 실시간 시스템운용의 어느 시점에서나 발전원가를 알고 있다는 무리한 가정에 의해 발전원가가 낮은 순서로 차례로 발전기출력을 최대로 지정하였다고 하자. 그러면 하나의 발전기의 증분비용함수의 정보를 이용해 다른 발전기의 출력을 다시 조정해 총 연료비가 최소로 되는 발전기별 출력을 찾아갈 수 있다. 발전원가를 사용하는 방법에서는 증분비용함수의 정보가 사용되지 않아 전체 연료비를 최소화하는 발전기의 출력을 찾을 수 없다. 
최적화 알고리즘에서는 도함수 또는 경도가 최적점을 찾아가는 중요한 모수로 작용한다. 수학자가 개발한 최적화이론에 의한 해와 등증분비용법에 의한 해는 동일한 해를 제공한다. 비용함수를 보면 변동비($/kWh)는 출력에 따라 변동하지만, 출력이 결정되지 않은 상태에서 변동비를 미리 알 수도 없다. 주어진 비용함수 아래 발전기의 출력 x에서의 평균비용(변동비, $/kWh)은 y-축의 값을 출력 x로 나눈 값이며 출력이 0에 근접하면 무한대로 커진다. 무부하비용은 출력에 따라 변동하지 않으므로 총 연료비를 최소화하는 발전기 출력의 결정에 영향을 미치지 않는다. 

시스템운용에서 발전기의 각종 제약
전력시스템을 운용함에 있어 기술 관련 제약사항 또는 정책적 고려에 따라 여러 가지 제약요인을 시스템운용스케줄에 반영하게 된다. 연료제약이란 정부의 에너지정책에 따라 사용량이 제한되거나 LNG연소 화력발전기와 같이 연간 총 사용량이 장기계약에 의해 한계를 갖는 것을 말한다. 송전제약이란 송전선의 전력흐름의 제약, 휴전작업 또는 선로고장 등으로 인한 송전망의 각종 제약으로 인해 연료비가 저렴한 발전기라도 위치에 따라 출력에 대해 제한을 받는 것을 말한다. 역으로 대규모로 전력을 수송받는 지역(예를 들어 경인지방)의 발전기는 송전망의 용량제약 때문에 연료비가 비싸도 출력을 더 높여야 할 경우가 많다. 일반적으로 순동예비력은 송전선로의 용량제약을 고려해 지역적으로 골고루 분포되도록 한다. 열공급 제약은 열병합발전소가 난방용 열을 공급하기 위해 가동되는 것을 말하며 열수요에 따라 발전기 운전스케줄에 반영된다. 일부 지역의 전압강하를 보상하기 위해 연료비가 비싸더라도 발전기를 의무적으로 가동하는 경우가 있다. 이러한 발전기를 출력지정발전기(must-run unit)라 한다.

제약발전(constrained-on generation)과 제약비발전(constrained-off generation)
제약발전은 제약조건으로 인해 어떤 발전기가 출력을 더 높였다는 것을 의미하고 제약비발전은 제약조건으로 인해 출력을 낮추었다는 것을 의미한다. 제약조건은 송전선로의 용량제약조건으로 인한 것이 대부분이다. 제약발전 및 제약비발전의 여부를 판단하는 자료는 등증분비용급전에 의한 발전기 출력기준점과 SCED를 사용한 발전기 출력기준점의 차이이다. 어떤 발전기는 총연료비를 최소화하기 위해 100만 킬로와트의 출력을 내야 하지만 송전선로의 용량제약으로 인해 80만킬로와트의 출력을 낸다면 제약비발전(con-off)상태가 된다. 그러면 어떤 다른 발전기는 제약조건 때문에 출력이 감소한 발전기의 감소출력만큼 자신의 출력을 더 증가해야 하며, 이 발전기는 제약발전(con-on)의 상태가 된다. 왜냐하면 총출력과 시스템부하는 항상 일치해야 하기 때문이다. 
제약발전과 제약비발전의 비교 대상은 동일한 시점에서 시스템부하를 사용한 등증분비용급전의 계산결과와 모선 별 소비자부하를 사용해 SCED를 실행한 결과와의 출력의 차이를 이용해 계산한다. 발전기별 출력의 차이가 결정되면 이러한 출력으로 5분 동안 발전한 발전량이 제약발전 및 제약비발전으로 기록되며 이것이 발전비용 정산시점에서 정보가 된다. 
그림-31을 보면 하부의 송전망과 상부의 송전망의 사이에 3개 송전선로가 존재하고 3개의 송전선로는 용량이 작다고 가정한다. 또한 발전기-9, 10, 11, 12은 연료비가 낮은 발전기라고 가정한다. 모선별 소비자 부하의 상태를 이용해 SCED(안전도제약 최적조류계산)를 실행해 구한 발전기-9, 10, 11, 12의 출력은  송전선-1, 2 , 3의 용량제약으로 인해 시스템부하를 사용한 등증분비용급전의 계산결과에 비해 출력이 낮을 것이고 발전기-1, 2, 3, 4의 출력은 높을 것이다.  등증분비용급전은 송전선의 용량제약을 고려하지 않으므로 총 연료비를 최소화하기 위해 발전기-9, 10, 11, 12의 출력을 높이고 발전기-1, 2, 3, 4의 출력을 낮도록  한 해를 제시하였다. 
이와 같은 제약발전 및 제약비발전의 계산은 실시간에서 동일한 시스템부하의 상태에서 계산되어야 한다. 그렇지 않을 경우, 발전기출력의 차이가 수요예측오차로 인한 것과 섞여 제약조건에 의한 발전량의 차이를 구분할 수 없게 된다. 예를 들어 내일의 수요예측에 자료를 이용해 발전기의 발전량을 예측하였는데 실제로 만 킬로와트의 예측오차가 발생하였다면 실시간에서의 총발전량은 어제 것보다도 500만 킬로와트 축소된 부하를 공급한 발전량이 기록될 것이며 이것이 발전기 제약비발전으로 간주될 수도 있기 때문이다. 왜냐하면 이엠에스의 SCED프로그램을 사용하지 않으면 송전선로의 용량제약에 따른 발전기출력의 변동을 파악할 수 없으므로, 하루 전에 예상한 각 발전기 발전량과 실시간 시스템운용의 각 발전기 발전량의 차이를 이용해 제약발전과 제약비발전으로 사용할 수 없다.  
이것이 대체적인 발전량의 비용정산(settlement)의 방법이며 미국의 전력시스템운용기관(예, 텍사스 ERCOT)은 매일 정산을 실시할 때 90일 전의 거래내역을 공개한다. 오늘은 90일 전의 5분마다의 제약발전과 제약비발전의 상황을 공개하고 내일은 내일에서 본 90일 이전의 자료를 공개한다. 만약 이엠에스가 기록한 제약발전, 제약비발전에 관한 내용에 문제가 있다고 판단하면 발전사업자는 텍사스 주규제위원회(State Public Utility Commission)에 불만을 제소할 수 있다. 발전기의 출력이 이엠에스에 의해 잘 못 지정되면 발전사업자에 투자비회수 기회도 불공정하게 주어지는 것이다. 캘리포니아 시스템운용기관(ISO, Independent System Operator)도 이와 같은 방법을 사용해 정산한다.